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算例7.1：功能函數(shù)
，其中
，
為模糊變量，下面分別假設(shè)其隸屬函數(shù)為對稱梯形分布、對稱拋物型分布和對稱柯西型分布。表7 1、表7 2和表7 3分別給出了在上述不同隸屬函數(shù)分布情況下，結(jié)構(gòu)的模糊隨機可靠性試驗和可靠性試驗靈敏度的數(shù)字模擬解以及采用不同等價正態(tài)化方法后結(jié)合線抽樣方法所得的可靠性試驗靈敏度估算結(jié)果。圖7.5、圖7.6和圖7.7給出了文中所提的不同等價方法對上述三種不同分布形式的隸屬函數(shù)的近似等價正態(tài)化的對照結(jié)果。
（1）假設(shè)模糊變量
的隸屬函數(shù)為對稱梯形分布，其中心值
、模糊幅度分別為：
，
。
表7 1 算例7.1
的隸屬函數(shù)為對稱梯形分布時模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度結(jié)果
|
方法 |
|
|
|
|
|
Pf |
|
By |
|
數(shù)值模擬 |
估計值 |
0.004517 |
0.010566 |
0.0006839 |
0.0001471 |
0.008474 |
5×107 |
—— |
|
變異系數(shù) |
0.004572 |
0.004817 |
0.006665 |
0.025839 |
0.004441 |
|||
|
最大最小 |
估計值 |
0.004546 |
0.010593 |
0.0006872 |
0.0001464 |
0.008559 |
300 |
10.132 |
|
相對誤差* |
0.641% |
0.256% |
0.494% |
-0.468% |
0.999% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.001563 |
0.001280 |
0.001563 |
0.001280 |
0.001788 |
|||
|
等面積 |
估計值 |
0.004530 |
0.010570 |
0.0006847 |
0.0001416 |
0.008517 |
300 |
9.9736 |
|
相對誤差* |
0.276% |
0.039% |
0.127% |
-3.771% |
0.503% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.001501 |
0.001230 |
0.001501 |
0.001230 |
0.001717 |
*表示：將模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度的數(shù)字模擬解作為其真實值，將線抽樣的估算結(jié)果與之對比所得到的相對誤差。另外，表中的相對誤差項沒有考慮線抽樣方法所引起的誤差，即認(rèn)為對于不同的近似等價正態(tài)化方法，線抽樣方法的精度對最終估算結(jié)果的影響均是相同的，以下相同。
由表7 1中計算結(jié)果可以看出，對于
較小的情況（本例為1/24），利用“最大最小”法和“等面積”法近似等價正態(tài)化對稱梯形隸屬函數(shù)后結(jié)合線抽樣方法均可以得到較高精度的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度估算結(jié)果。
圖7.5 算例7.1對稱梯形隸屬函數(shù)近似等價正態(tài)化結(jié)果
（2）假設(shè)模糊變量
的隸屬函數(shù)為
的對稱拋物型分布，其中心值
和模糊幅度
分別為：
，
。
表7 2 算例7.1
的隸屬函數(shù)為對稱拋物型分布時模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度結(jié)果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
數(shù)值模擬 |
估計值 |
0.004102 |
0.009964 |
0.000608 |
3.817×10-5 |
0.0074413 |
2×108 |
—— |
|
變異系數(shù) |
0.002823 |
0.002916 |
0.011216 |
0.090500 |
0.002774 |
|||
|
最大最小 |
估計值 |
0.004078 |
0.009924 |
0.000602 |
2.156×10-5 |
0.0073827 |
300 |
2.824 |
|
相對誤差 |
-0.586% |
-0.397% |
-1.053% |
-43.533% |
-0.788% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.000110 |
9.161×10-5 |
0.000110 |
9.161×10-5 |
0.000125 |
|||
|
等面積 |
估計值 |
0.004083 |
0.009932 |
0.000603 |
2.451×10-5 |
0.007395 |
300 |
3.0090 |
|
相對誤差 |
-0.460% |
-0.320% |
-0.900% |
-35.807% |
-0.618% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.000125 |
0.000104 |
0.000125 |
0.000104 |
0.000142 |
|||
|
改進(jìn)
最大最小 |
估計值 |
0.004100 |
0.009957 |
0.000606 |
3.419×10-5 |
0.007437 |
300 |
3.5090 |
|
相對誤差 |
-0.047% |
-0.066% |
-0.402% |
-10.431% |
-0.063% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.000175 |
0.000145 |
0.000175 |
0.000145 |
0.000199 |
|||
|
改進(jìn)
等面積 |
估計值 |
0.004099 |
0.009956 |
0.000606 |
3.346×10-5 |
0.007434 |
300 |
3.5467 |
|
相對誤差 |
-0.079% |
-0.085% |
-0.440% |
-12.354% |
-0.105% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.000171 |
0.000142 |
0.000171 |
0.000142 |
0.000194 |
圖7.6算例7.1對稱拋物型隸屬函數(shù)近似等價正態(tài)化結(jié)果
由表7 2中計算結(jié)果可以看出，對于失效概率和失效概率對變量分布參數(shù)的可靠性試驗靈敏度（
除外），“最大最小”法和“等面積”法均可以得到精度較高的估算結(jié)果，而
需采用“改進(jìn)最大最小”法和“改進(jìn)等面積”法才能得到較高精度的估算結(jié)果，其中“改進(jìn)最大最小”法的精度更高一些。且由圖7.6的對照結(jié)果也可以看出改進(jìn)方法能夠更好的近似原對稱拋物型隸屬函數(shù)。
（3）假設(shè)模糊變量
的隸屬函數(shù)為
對稱柯西型分布，分布參數(shù)為
，
。
表7 3 算例7.1
的隸屬函數(shù)為對稱柯西型分布時模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度結(jié)果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
數(shù)值模擬 |
估計值 |
0.004087 |
0.009953 |
0.000602 |
-0.000938 |
0.007399 |
109 |
—— |
|
變異系數(shù) |
0.001408 |
0.001457 |
0.007512 |
0.074888 |
0.001382 |
|||
|
等面積 |
估計值 |
0.004073 |
0.009918 |
0.0006011 |
-0.000759 |
0.007372 |
300 |
2.6504 |
|
相對誤差 |
-0.338% |
-0.356% |
-0.105% |
-19.150% |
-0.367% |
|||
|
變異系數(shù) |
9.688×10-5 |
8.057×10-5 |
9.688×10-5 |
8.057×10-5 |
0.000110 |
由表7 3中計算結(jié)果可以看出，利用“等面積”法近似等價正態(tài)化對稱柯西型隸屬函數(shù)后結(jié)合線抽樣方法均可以得到可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度的較高精度的估算結(jié)果。對
的估計得到了相對誤差低于20%的估計值。
圖7.7 算例7.1對稱柯西型隸屬函數(shù)近似等價正態(tài)化結(jié)果
算例7.2：重新考慮圖2.1所示的九盒段結(jié)構(gòu)[9]。
為第
個單元的強度，均為服從正態(tài)分布的基本隨機變量
，
；載荷P為具有對稱梯形隸屬函數(shù)的模糊變量，其中心值
，模糊幅度
，
。由失效模式的枚舉方法可求得結(jié)構(gòu)體系的一個主要失效模式的極限狀態(tài)函數(shù)為：
。表7 4給出了采用不同方法所得的模糊隨機可靠性試驗靈敏度計算結(jié)果，圖7.8給出了兩種不同方法對原對稱梯形隸屬函數(shù)的近似等價正態(tài)化的對照結(jié)果。
圖7.8 對稱梯形隸屬函數(shù)的近似等價正態(tài)化對照圖
表7 4 算例7.2含對稱梯形模糊變量結(jié)構(gòu)的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結(jié)果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
數(shù)值模擬 |
估計值 |
0.006173 |
0.001599 |
0.001683 |
5×107 |
—— |
|
|
變異系數(shù) |
0.015046 |
0.048822 |
0.013567 |
||||
|
最大最小 |
估計值 |
0.006292 |
0.001929 |
0.001676 |
150 |
0.2994 |
|
|
相對誤差 |
1.917% |
20.641% |
-0.441% |
||||
|
變異系數(shù) |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
1.755×10-9 |
||||
|
等面積 |
估計值 |
0.006261 |
0.001881 |
0.001665 |
240 |
0.2962 |
|
|
相對誤差 |
1.416% |
17.648% |
-1.049% |
||||
|
變異系數(shù) |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
2.781×10-9 |
||||
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
數(shù)值模擬 |
估計值 |
-0.025681 |
0.042606 |
0.025380 |
0.041785 |
-0.025094 |
0.041259 |
|
變異系數(shù) |
0.015164 |
0.020460 |
0.015138 |
0.020286 |
0.015337 |
0.021126 |
|
|
最大最小 |
估計值 |
-0.025167 |
0.041307 |
0.025165 |
0.041303 |
-0.025167 |
0.041307 |
|
相對誤差 |
-2.003% |
-3.049% |
-0.846% |
-1.154% |
0.291% |
0.115% |
|
|
變異系數(shù) |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
3.477×10-9 |
2.370×10-9 |
|
|
等面積 |
估計值 |
-0.025043 |
0.041157 |
0.025042 |
0.041153 |
-0.025043 |
0.041157 |
|
相對誤差 |
-2.485% |
-3.400% |
-1.334% |
-1.513% |
-0.202% |
-0.248% |
|
|
變異系數(shù) |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
1.377×10-9 |
1.327×10-9 |
此工程算例，采用“最大最小”法和“等面積”法進(jìn)行等價正態(tài)化后結(jié)合線抽樣進(jìn)行估算，得到了較高精度的模糊隨機失效概率及模糊隨機可靠性試驗靈敏度。
算例7.3：非線性功能函數(shù)
，其中
，
為具有
的對稱拋物型隸屬函數(shù)的模糊變量，其中心值
和模糊幅度
分別為：
，
。不同方法所得的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度估算結(jié)果如表7 6所示。圖7.9給出了四種不同近似方法對原對稱拋物型隸屬函數(shù)的近似等價正態(tài)化的對照結(jié)果。
表7 5 算例7.3的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結(jié)果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
數(shù)值模擬 |
估計值 |
0.000681 |
0.002067 |
-0.000383 |
0.000185 |
0.000210 |
5×107 |
—— |
|
變異系數(shù) |
0.029287 |
0.035831 |
0.018117 |
0.020127 |
0.025235 |
|||
|
最大最小 |
估計值 |
0.000199 |
0.000680 |
-0.000138 |
4.507×10-5 |
5.500×10-5 |
300 |
1.0847 |
|
相對誤差 |
-70.745% |
-67.099% |
-64.034% |
-75.589% |
-73.836% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.009996 |
0.009393 |
0.009996 |
0.009393 |
0.010532 |
|||
|
等面積 |
估計值 |
0.000269 |
0.000891 |
-0.000177 |
6.502×10-5 |
7.669×10-5 |
300 |
1.1968 |
|
相對誤差 |
-60.423% |
-56.915% |
-53.714% |
-64.783% |
-63.515% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.011065 |
0.010389 |
0.011065 |
0.010389 |
0.011662 |
|||
|
改進(jìn)
最大最小 |
估計值 |
0.000634 |
0.001884 |
-0.000374 |
0.000186 |
0.000200 |
300 |
1.5528 |
|
相對誤差 |
-6.820% |
-8.879% |
-2.303% |
0.773% |
-5.089% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.013429 |
0.012521 |
0.013429 |
0.012521 |
0.014215 |
|||
|
改進(jìn)
等面積 |
估計值 |
0.000517 |
0.001577 |
-0.000313 |
0.000146 |
0.000159 |
300 |
1.4620 |
|
相對誤差 |
-24.025% |
-23.710% |
-18.170% |
-21.075% |
-24.488% |
|||
|
變異系數(shù) |
0.012894 |
0.012044 |
0.012894 |
0.012044 |
0.013633 |
由表7 6中結(jié)果可以看出“改進(jìn)最大最小”法的精度是四種等價正態(tài)化方法中最高的，由其確定正態(tài)型隸屬函數(shù)，再結(jié)合線抽樣方法能夠得到精度較高的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度估計結(jié)果，而其它三種等價正態(tài)化方法得到的估算結(jié)果誤差較大，特別是將“最大最小”法和“等面積”法確定的正態(tài)型隸屬函數(shù)直接用于模糊隨機失效概率及可靠性試驗靈敏度的估算其相對誤差是我們無法接受的。
圖7.9 算例7.3對稱拋物型隸屬函數(shù)近似等價正態(tài)化結(jié)果
算例7.4：某內(nèi)壓圓筒形容器如圖7.10所示，其所用材料15MnV，原始數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)[10]，基本隨機變量取為內(nèi)徑
、壁厚
以及屈服強度
，基本隨機變量相互獨立且服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)見表7 6。內(nèi)壓強
為具有對稱柯西型隸屬函數(shù)（
）的模糊變量，其分布參數(shù)為：
，
。由算例3.2可知對于常見的內(nèi)壓圓筒形薄壁容器選用第一強度理論時
。采用不同方法所得的模糊隨機可靠性試驗靈敏度計算結(jié)果如表7 7所示。圖7.11給出了等效近似方法對隸屬函數(shù)近似等價正態(tài)化的對照結(jié)果。
|
表7 6算例7.4基本隨機變量的分布參數(shù)
|
圖7.10 內(nèi)壓圓筒形容器示意圖 |
圖7.11 對稱柯西型隸屬函數(shù)的近似等價正態(tài)化結(jié)果
表7 7 算例7.4的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析結(jié)果
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
數(shù)值模擬 |
估計值 |
0.006436 |
-0.0004958 |
0.006900 |
5×107 |
—— |
—— |
|
變異系數(shù) |
0.007189 |
0.014354 |
0.005410 |
||||
|
等面積 |
估計值 |
0.006327 |
-0.0003849 |
0.006392 |
300 |
1.0539 |
-0.0932 |
|
相對誤差 |
-1.691% |
-22.367% |
-7.367% |
||||
|
變異系數(shù) |
0.005050 |
0.004198 |
0.005744 |
||||
|
方法 |
|
|
|
|
|
|
|
|
數(shù)值模擬 |
估計值 |
-0.0005154 |
0.001093 |
0.0003627 |
0.0001153 |
-0.009229 |
0.009269 |
|
變異系數(shù) |
0.006013 |
0.006930 |
0.015665 |
0.073818 |
0.007589 |
0.014052 |
|
|
等面積 |
估計值 |
-0.0004984 |
0.001080 |
0.0003488 |
0.0001179 |
-0.008856 |
0.008686 |
|
相對誤差 |
-3.301% |
-1.174% |
-3.851% |
2.269% |
-4.043% |
-6.289% |
|
|
變異系數(shù) |
0.005050 |
0.004198 |
0.005050 |
0.004198 |
0.005050 |
0.004198 |
此工程算例采用“等面積”法對對稱柯西型隸屬函數(shù)進(jìn)行等價正態(tài)化后結(jié)合線抽樣方法得到了可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度精度較高的估計值。但上述方法對于
的估算結(jié)果不精確，相對誤差較高，需進(jìn)一步改進(jìn)。
針對對稱梯形隸屬函數(shù)下的結(jié)構(gòu)的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題，本章采用了“最大最小”法和“等面積”法對其進(jìn)行等價正態(tài)化，將其轉(zhuǎn)換成隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題，然后運用線抽樣方法對失效概率及可靠性試驗靈敏度進(jìn)行估算，快速地、高精度地估算出模糊隨機失效概率和模糊隨機可靠性試驗靈敏度。文中僅對模糊幅度
與
相差較大的情況進(jìn)行了詳細(xì)的討論，針對兩者相差不大的情況“最大最小”法及“等面積”法的等價正態(tài)化精度不高，還需要進(jìn)一步的研究。
針對對稱拋物型隸屬函數(shù)下的結(jié)構(gòu)的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題，本章分別采用了“最大最小”法、“等面積”法、“改進(jìn)最大最小”法和“改進(jìn)等面積”法對其近似等價正態(tài)化。本章通過不同的算例比較了上述四種方法的等價正態(tài)化近似對稱拋物型隸屬函數(shù)的優(yōu)劣，結(jié)果說明，采用本章提出的“改進(jìn)最大最小”法對對稱拋物型隸屬函數(shù)進(jìn)行等價正態(tài)化將原問題轉(zhuǎn)換成隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度問題后結(jié)合線抽樣方法對其進(jìn)行估算，得到的可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度的估算結(jié)果的精度是四種方法中最高的。
對于對稱柯西型隸屬函數(shù)下的結(jié)構(gòu)的模糊隨機可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題，本章采用“等面積”法對其進(jìn)行等價正態(tài)化，然后結(jié)合線抽樣方法進(jìn)行可靠性試驗及可靠性試驗靈敏度分析問題。文中采用這一思路得到了模糊隨機失效概率和除
外的可靠性試驗靈敏度的較高精度的估計值，而對于
的估算其相對誤差較大，還需進(jìn)一步的研究。
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