改進(jìn)的重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)及其方差分析

與可靠性試驗(yàn)分析的數(shù)字模擬法類似，許多數(shù)字模擬的方法被發(fā)展起來用于可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)[1-9]，在已發(fā)展得較為完善的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析的數(shù)字模擬方法中，Monte Carlo法和重要抽樣法的應(yīng)用最為廣泛。Monte Carlo法以其思路簡單、易于實(shí)現(xiàn)、結(jié)果準(zhǔn)確而常常作為一種檢驗(yàn)其它新方法的標(biāo)準(zhǔn)[10]，但Monte Carlo可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法的顯著缺點(diǎn)是計(jì)算效率低，其所需要的計(jì)算量往往是工程設(shè)計(jì)人員無法接受的。重要抽樣法由于將抽樣的密度中心移到了對可靠性試驗(yàn)靈敏度貢獻(xiàn)較大的區(qū)域而提高了抽樣效率，加快了可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的收斂速度[11]。

第二章通過對傳統(tǒng)重要抽樣法進(jìn)行方差分析及變異系數(shù)估算驗(yàn)證了傳統(tǒng)重要抽樣法進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析的高效性，本章將在傳統(tǒng)重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法的基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)的方法。改進(jìn)方法的基本思想是利用失效域的性質(zhì)來減少功能函數(shù)的計(jì)算次數(shù)，以提高靈敏度分析方法的計(jì)算效率。重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度分析首先必須尋找失效域的最可能失效點(diǎn)，而該點(diǎn)與可靠度指標(biāo)是一一對應(yīng)的。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中失效域位于以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心可靠度指標(biāo)為半徑的超球外，所提方法正是利用失效域的這一性質(zhì)來減少可靠性試驗(yàn)靈敏度計(jì)算所需的功能函數(shù)的計(jì)算次數(shù)的。本章給出了詳細(xì)的分析過程及所提方法對單模式和多模式串聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析時(shí)估計(jì)值的方差和變異系數(shù)的計(jì)算公式，最后采用算例對所提方法的效率進(jìn)行了說明。

1.1 改進(jìn)的重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度分析

由于獨(dú)立正態(tài)變量具有一定的普遍性，因此本章仍然主要研究獨(dú)立正態(tài)變量情況，即假設(shè)所研究問題包含的維基本變量相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布，，和分別為的均值與標(biāo)準(zhǔn)差。

第2.1節(jié)和2.2節(jié)已經(jīng)分別給出了基于直接Monte Carlo法和基于重要抽樣法的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析過程，這里不再詳述。

從式可知，采用重要抽樣法來估計(jì)可靠性試驗(yàn)靈敏度時(shí)，需要計(jì)算每個(gè)重要抽樣樣本點(diǎn)處的功能函數(shù)值，以判別的函數(shù)值。若能夠利用失效域的一些性質(zhì)來減少功能函數(shù)值的計(jì)算次數(shù)，則可以進(jìn)一步提高可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)的效率，改進(jìn)的重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法正是基于這一思路而提出的。

記設(shè)計(jì)點(diǎn)為，并記在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中該點(diǎn)的坐標(biāo)為，則。在維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，結(jié)構(gòu)的失效域位于以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心以可靠度指標(biāo)為半徑的超球之外。記可靠度指標(biāo)為，則。以記超球內(nèi)的區(qū)域，即，則顯然有，因此落入此超球內(nèi)的樣本點(diǎn)的指示函數(shù)，對于這些樣本點(diǎn)無需再計(jì)算功能函數(shù)值。而樣本點(diǎn)是否落入區(qū)域可以簡單地由式所示的區(qū)域內(nèi)的指示函數(shù)來判別。

引入區(qū)域的指示函數(shù)后，式所示的失效概率對第個(gè)變量的分布參數(shù)的可靠性試驗(yàn)靈敏度可改寫成式所示的形式。

在數(shù)值模擬的過程中，用重要抽樣密度函數(shù)抽取的個(gè)樣本點(diǎn)的樣本均值來代替總體的數(shù)學(xué)期望，可以得到基于改進(jìn)重要抽樣法的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)式如式所示。

為簡便起見，記，如2.2節(jié)所述，在獨(dú)立正態(tài)變量情況下，有

將代入式可得獨(dú)立正態(tài)變量情況下基于改進(jìn)重要抽樣法的可靠性試驗(yàn)靈敏度估算公式如下所示。

式中當(dāng)、時(shí)，和的計(jì)算可分別參照式和，有，，其中為第個(gè)樣本的第個(gè)分量對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化樣本，即。將和分別代入式可以得到基于改進(jìn)方法的失效概率對變量均值和標(biāo)準(zhǔn)差的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值。

從式可知，在改進(jìn)的重要抽樣法中只需計(jì)算按照重要抽樣密度函數(shù)抽取的個(gè)樣本中外區(qū)域的樣本點(diǎn)的功能函數(shù)值即可，而判別樣本點(diǎn)是否落入區(qū)域只是一個(gè)顯式函數(shù)的計(jì)算，從而使得重要抽樣法的計(jì)算效率進(jìn)一步提高。

1.2 改進(jìn)的重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的方差分析

采用數(shù)字模擬的方法對真值進(jìn)行估計(jì)均是近似的，為了對改進(jìn)的重要抽樣法的收斂性有所了解，有必要對估計(jì)值作方差分析。對式所示的估計(jì)值求數(shù)學(xué)期望和方差可得

顯然，是可靠性試驗(yàn)靈敏度的無偏估計(jì)。

在數(shù)值模擬的過程中考慮用樣本平均值和方差代替總體的數(shù)學(xué)期望和方差，可近似得到可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望和方差如下所示。

變異系數(shù)為估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差與估計(jì)值均值的比值，反映了估計(jì)值的相對分散性。將式和代入式，可以得到改進(jìn)重要抽樣法可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的變異系數(shù)。

1.3 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的改進(jìn)重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度及其方差分析

在工程應(yīng)用中，一個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)往往不是僅具有單一失效模式的，而常常包含多個(gè)失效模式，下面對包含多個(gè)失效模式的串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值及其方差進(jìn)行討論。

假設(shè)串聯(lián)系統(tǒng)包含個(gè)失效模式，以表示每個(gè)模式的功能函數(shù)，則系統(tǒng)的失效域。

由可靠性試驗(yàn)靈敏度的積分定義式可知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率對第個(gè)變量的分布參數(shù)的靈敏度可以寫成下面的形式。

1.3.1 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的Monte Carlo可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)

多模式串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度的Monte Carlo估計(jì)的基本思想和估算公式均與3.1節(jié)所述的單模式系統(tǒng)相似，只是將失效域用上面定義的系統(tǒng)的失效域代替，相應(yīng)的，指示函數(shù)也要變換成系統(tǒng)的指示函數(shù)，仍然為具有兩個(gè)取值的指示函數(shù)，若，則，否則。

按照3.1節(jié)所述的方法，可以容易地寫出系統(tǒng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度的估算公式如下所示。

其中為按基本變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)抽取的個(gè)樣本中的第個(gè)。

1.3.2 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)

記結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第個(gè)失效模式的設(shè)計(jì)點(diǎn)為，并記其在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的坐標(biāo)為，則第個(gè)失效模式相應(yīng)的可靠度指標(biāo)如下所示。

以為均值中心點(diǎn)、以的方差為方差，可以構(gòu)造出第個(gè)失效模式的重要抽樣密度函數(shù)，記其為。在式所示的系統(tǒng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度中引入函數(shù)，其具體表達(dá)式如式所示。

則可靠性試驗(yàn)靈敏度可改寫成式的形式。

將式代入式后結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度可寫成式所示的以每個(gè)失效模式的重要抽樣密度函數(shù)為密度函數(shù)的數(shù)學(xué)期望之和的形式。

假設(shè)對于第個(gè)失效模式按抽取了個(gè)樣本點(diǎn)，則可靠性試驗(yàn)靈敏度可以用下式樣本函數(shù)均值的形式來估計(jì)。

從式可知，采用重要抽樣法來估計(jì)可靠性試驗(yàn)靈敏度時(shí)，需要計(jì)算每個(gè)重要抽樣樣本點(diǎn)在每個(gè)失效模式下的功能函數(shù)值。3.1節(jié)為進(jìn)一步提高重要抽樣的效率引入了一個(gè)超球，利用失效域的性質(zhì)可以僅計(jì)算超球之外的樣本點(diǎn)的功能函數(shù)值，從而減少功能函數(shù)的計(jì)算次數(shù)。多模式系統(tǒng)進(jìn)行一次結(jié)構(gòu)系統(tǒng)指示函數(shù)值的判斷就需計(jì)算個(gè)模式的功能函數(shù)值，因此對多模式系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)靈敏度分析的重要抽樣法進(jìn)行改進(jìn)，減少值的判別次數(shù)就顯得更加必要了。

1.3.3 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的改進(jìn)重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)

在求得系統(tǒng)個(gè)失效模式的可靠度指標(biāo)后，與單模式情況類似，我們可以在系統(tǒng)安全域內(nèi)引入一個(gè)半徑最大的超球，亦稱之為球。此超球的球心取為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑取為,則顯然有超球內(nèi)的區(qū)域與系統(tǒng)失效域不相交，即，因此對于落入區(qū)域的樣本點(diǎn)不再需要計(jì)算個(gè)失效模式的功能函數(shù)值來判別的值了。而樣本點(diǎn)是否落入只需簡單的采用區(qū)域的指示函數(shù)由式進(jìn)行判別即可。將區(qū)域的指示函數(shù)引入式可得式所示的可靠性試驗(yàn)靈敏度估算公式。

將3.1節(jié)中的表達(dá)式代入上式可得多模式串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度如下所示。

式中當(dāng)、時(shí)，分別有、，代入式可分別得到系統(tǒng)失效概率對變量均值和變量標(biāo)準(zhǔn)差的可靠性試驗(yàn)靈敏度。其中，表示按照第個(gè)模式的重要抽樣密度函數(shù)抽取的第個(gè)樣本的第個(gè)分量對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)化樣本，即。

1.3.4 多模式串聯(lián)系統(tǒng)的改進(jìn)重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值方差分析

對式求數(shù)學(xué)期望和方差，并在數(shù)值模擬的過程中近似用樣本平均值和方差代替總體的數(shù)學(xué)期望和方差，可求得可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的期望和方差分別如式和所示。

1.4 算例分析

算例3.1：考慮算例2.2的九盒段結(jié)構(gòu)，分別采用直接Monte Carlo法、傳統(tǒng)重要抽樣法和改進(jìn)重要抽樣法對其進(jìn)行可靠性試驗(yàn)靈敏度分析，表31給出了失效概率及可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的對照。

 

表31  算例3.1的失效概率及失效概率對變量均值的可靠性試驗(yàn)靈敏度計(jì)算結(jié)果

方法		Monte Carlo	傳統(tǒng) 重要抽樣	改進(jìn)重要抽樣
計(jì)算功能函數(shù)值次數(shù)		106	6×104	57530		6×104
	估計(jì)值	0.00979	0.009769	0.009769	0.215%	0.009777	0.133%
	變異系數(shù)	0.010057	0.006703	0.006703	——	0.006565	——
	估計(jì)值	-0.001326	-0.001324	-0.001324	0.151%	-0.001325	0.075%
	變異系數(shù)	0.011960	0.008042	0.008042	——	0.007872	——
	估計(jì)值	0.001325	0.001334	0.001334	0.679%	0.001334	0.679%
	變異系數(shù)	0.012004	0.007986	0.007986	——	0.007824	——
	估計(jì)值	-0.001326	-0.001316	-0.001316	0.754%	-0.001318	0.603%
	變異系數(shù)	0.011960	0.007962	0.007962	——	0.007801	——
	估計(jì)值 (×10-4)	3.31932	3.29196	3.29196	0.824%	3.29497	0.734%
	變異系數(shù)	0.012291	0.008307	0.008307	——	0.008132	——
	估計(jì)值	0.001562	0.001586	0.001586	1.536%	0.001585	1.472%
	變異系數(shù)	0.019196	0.013415	0.013415	——	0.013119	——
	估計(jì)值	0.001575	0.001607	0.001607	2.032%	0.001605	1.905%
	變異系數(shù)	0.019219	0.013125	0.013125	——	0.012883	——
	估計(jì)值	0.001562	0.001552	0.001552	0.640%	0.001557	0.320%
	變異系數(shù)	0.019218	0.013225	0.013225	——	0.012921	——
	估計(jì)值 (×10-4)	3.67274	3.65095	3.65095	0.593%	3.64902	0.646%
	變異系數(shù)	0.020699	0.014508	0.014508	——	0.014245	——

備注：表中的相對誤差項(xiàng)表示將表中的Monte Carlo分析結(jié)果作為精確解，其它方法的估計(jì)值與精確解比較的相對誤差，以下相同。

 

從上述九盒段機(jī)翼模擬結(jié)構(gòu)的工程算例可以看出，傳統(tǒng)重要抽樣法和改進(jìn)重要抽樣法在計(jì)算功能函數(shù)次數(shù)之比為6×104：57530時(shí)，兩者的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值和估計(jì)值變異系數(shù)均相同。而在計(jì)算功能函數(shù)值次數(shù)均為6×104時(shí)，改進(jìn)重要抽樣法得到的靈敏度估計(jì)值的變異系數(shù)要小于傳統(tǒng)重要抽樣法得到的結(jié)果，可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)結(jié)果也更加精確。

算例3.2：某內(nèi)壓圓筒形容器圖3.1所示，其所用材料15MnV，基本隨機(jī)變量取為內(nèi)徑、內(nèi)壓強(qiáng)、壁厚以及屈服強(qiáng)度，原始數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)[14]，基本隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)見表32。對于常見的內(nèi)壓圓筒形薄壁容器受二向應(yīng)力[14],即軸向應(yīng)力，周向應(yīng)力，徑向應(yīng)力。根據(jù)第一強(qiáng)度理論可得內(nèi)壓圓筒的極限狀態(tài)函數(shù)為：。式中為等價(jià)應(yīng)力，選用第一強(qiáng)度理論時(shí)對于本例。結(jié)構(gòu)的失效概率及可靠性試驗(yàn)靈敏度計(jì)算結(jié)果在表33中給出。

 

表32  算例3.2基本隨機(jī)變量的分布參數(shù) 隨機(jī)變量 均值 標(biāo)準(zhǔn)差 460mm 7mm 20MPa 2.4MPa 19mm 0.8mm 392MPa 31.4MPa

圖3.1  內(nèi)壓圓筒形容器示意圖

 

表33  算例3.2的失效概率及可靠性試驗(yàn)靈敏度計(jì)算結(jié)果

方法		Monte Carlo	傳統(tǒng) 重要抽樣	改進(jìn)重要抽樣
計(jì)算功能函數(shù)值次數(shù)		107	105	89247		105
	估計(jì)值(×10-4)	4.579	4.59785	4.59785	0.412%	4.58679	0.170%
	變異系數(shù)	0.014775	0.006091	0.006091	——	0.005755	——
	估計(jì)值(×10-5)	2.7019	2.52315	2.52315	6.616%	2.5197	6.743%
	變異系數(shù)	0.037874	0.018458	0.018458	——	0.017469	——
	估計(jì)值(×10-4)	4.51372	4.51798	4.51798	0.094%	4.50377	0.220%
	變異系數(shù)	0.015489	0.006211	0.006211	——	0.005867	——
	估計(jì)值(×10-4)	-6.35394	-6.29526	-6.29526	0.924%	-6.28246	1.125%
	變異系數(shù)	0.019508	0.008579	0.008579	——	0.008097	——
	估計(jì)值(×10-5)	-3.51183	-3.55497	-3.55497	1.228%	-3.55004	1.089%
	變異系數(shù)	0.015532	0.006222	0.006222	——	0.005884	——
	估計(jì)值(×10-6)	7.8915	7.79646	7.79646	1.204%	8.13953	3.143%
	變異系數(shù)	0.181385	0.087971	0.087971	——	0.079824	——
	估計(jì)值(×10-4)	9.82728	9.8257	9.8257	0.016%	9.79176	0.361%
	變異系數(shù)	0.017763	0.007151	0.007151	——	0.006762	——
	估計(jì)值(×10-4)	6.57051	6.58925	6.58925	0.285%	6.56984	0.285%
	變異系數(shù)	0.034813	0.016573	0.016573	——	0.015649	——
	估計(jì)值(×10-5)	7.8879	8.02906	8.02906	1.790%	8.03193	1.826%
	變異系數(shù)	0.018146	0.007240	0.007240	——	0.006850	——

 

從算例3.2的內(nèi)壓圓筒的工程算例可以看出，傳統(tǒng)重要抽樣法和改進(jìn)重要抽樣法在計(jì)算功能函數(shù)次數(shù)之比為105：89247時(shí)，兩者的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值及其變異系數(shù)均相同。而在計(jì)算功能函數(shù)值次數(shù)均為105時(shí)，改進(jìn)重要抽樣法得到的靈敏度估計(jì)值的變異系數(shù)比傳統(tǒng)重要抽樣法得到的結(jié)果小。算例3.1和算例3.2的工程算例充分說明了文中提出的改進(jìn)的重要抽樣可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法在工程應(yīng)用中是一種高效的可靠性試驗(yàn)靈敏度分析方法。

算例3.3：串聯(lián)系統(tǒng)由兩個(gè)失效模式構(gòu)成，其功能函數(shù)分別為，，其中包含的隨機(jī)變量均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且相互獨(dú)立。表34給出了失效概率及可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值的對照。

 

表34  算例3.3的失效概率及其對變量均值和標(biāo)準(zhǔn)差的靈敏度計(jì)算結(jié)果

方法		Monte Carlo	傳統(tǒng)重 要抽樣	改進(jìn)重要抽樣
結(jié)構(gòu)分析的次數(shù)		107	105	86824		105
	估計(jì)值 (×10-4)	5.5555	5.49429	5.49429	1.102%	5.50027	0.994%
	變異系數(shù)	0.013413	0.008752	0.008752	——	0.008146	——
	估計(jì)值	0.001866	0.001845	0.001845	1.125%	0.001847	1.018%
	變異系數(shù)	0.013787	0.008738	0.008738	——	0.008132	——
	估計(jì)值 (×10-4)	1.13748	1.08419	1.08419	4.685%	1.0774	5.281%
	變異系數(shù)	0.076383	0.035376	0.035376	——	0.033193	——
	估計(jì)值	0.006066	0.005989	0.005989	1.269%	0.005997	1.137%
	變異系數(shù)	0.014019	0.008287	0.008287	——	0.007713	——
	估計(jì)值 (×10-4)	1.99396	1.92066	1.92066	3.676%	1.91251	4.085%
	變異系數(shù)	0.135098	0.038167	0.038167	——	0.035667	——

 

從上述多模式串聯(lián)系統(tǒng)的算例可以看出，傳統(tǒng)重要抽樣法和改進(jìn)重要抽樣法在結(jié)構(gòu)分析次數(shù)之比為時(shí)，兩者的可靠性試驗(yàn)靈敏度估計(jì)值及其變異系數(shù)均相同。本例為兩個(gè)失效模式，那么改進(jìn)方法節(jié)省的功能函數(shù)值計(jì)算次數(shù)就更多了，效率提高得更加明顯。在結(jié)構(gòu)分析次數(shù)均為時(shí)，改進(jìn)重要抽樣法得到的靈敏度估計(jì)值的變異系數(shù)比傳統(tǒng)重要抽樣法小。因此，改進(jìn)重要抽樣法在分析多模式串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性試驗(yàn)靈敏度時(shí)具有更高的估算效率。